解答题
6.(2009年)设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0。已知曲线y=f(x) 与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。
【正确答案】旋转体的体积为V=∫1tπf2(x)dx=π∫1tf2(x)dx。曲边梯形的面积为S=∫1tf(x)dx，则由题可知
V=πtS，即π∫1tf2(x)dx=πt∫1tf(x)dx，也就是∫1tf2(x)dx=t∫1tf(x)dx。
两边对t求导可得
f2(t)=∫1tf(x)dx+tf(t)，即f2(t)一tf(t)=∫1tf(x)dx (*)
继续求导可得
2f(t)f’(t)一f(t)一tf’(t)=f(t)，
记f(t)=y，化简可得
在(*)式中令t=1，则f2(1)一f(1)=f(1)[f(1)一1]=0，因为f(t)＞0，所以f(1)=1。代入
所以该曲线方程为
V=πtS，即π∫1tf2(x)dx=πt∫1tf(x)dx，也就是∫1tf2(x)dx=t∫1tf(x)dx。
两边对t求导可得
f2(t)=∫1tf(x)dx+tf(t)，即f2(t)一tf(t)=∫1tf(x)dx (*)
继续求导可得
2f(t)f’(t)一f(t)一tf’(t)=f(t)，
记f(t)=y，化简可得
在(*)式中令t=1，则f2(1)一f(1)=f(1)[f(1)一1]=0，因为f(t)＞0，所以f(1)=1。代入
所以该曲线方程为
【答案解析】