解答题
已知矩阵A与B相似，其中
问答题
18.求x与y；
【正确答案】因A与B相似，故｜λE-A｜=｜λE-B｜，即
整理得 (λ-2)(λ2-xλ-1)=(λ-2)[λ2+(1-y)λ-y]．
比较上式两边λ同次幂的系数可得x=0，y=1，此时
整理得 (λ-2)(λ2-xλ-1)=(λ-2)[λ2+(1-y)λ-y]．
比较上式两边λ同次幂的系数可得x=0，y=1，此时
【答案解析】本题主要考查矩阵相似的性质及利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法．由矩阵A与B相似，知它们有相同的特征多项式，由此可求出x和y，然后用常规方法求出正交矩阵Q，使Q-1AQ=B．
问答题
19.求正交矩阵Q，使得Q-1AQ=B．
【正确答案】由于B是对角矩阵，其特征值为λ1=2，λ2=1，λ3=-1，而A与B相似，故它们也是A的特征值．
对于特征值λ1=2，由
得A的属于λ1=2的特征向量可取为ξ1=(1，0，0)T．
对于特征值λ2=1，由
得A的属于λ2=1的特征向量可取为ξ2=(0，1，1)T．
对于特征值λ3=-1，由
得A的属于λ3=-1的特征向量可取为ξ3=(0，1，-1)T．显然，ξ1，ξ2，ξ3已正交，再单位化，得
令
对于特征值λ1=2，由
得A的属于λ1=2的特征向量可取为ξ1=(1，0，0)T．
对于特征值λ2=1，由
得A的属于λ2=1的特征向量可取为ξ2=(0，1，1)T．
对于特征值λ3=-1，由
得A的属于λ3=-1的特征向量可取为ξ3=(0，1，-1)T．显然，ξ1，ξ2，ξ3已正交，再单位化，得
令
【答案解析】