设函数f(x)连续且恒大于零，
其中Ω(t)={x，y，z)｜x
2
+y
2
+z
2
≤t
2
}，D(t)={(x，y)｜x
2
+y
2
≤t
2
}．
(1)讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性．
(2)证明当t＞0时，F(t)＞
其中Ω(t)={x，y，z)｜x
2
+y
2
+z
2
≤t
2
}，D(t)={(x，y)｜x
2
+y
2
≤t
2
}．
(1)讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性．
(2)证明当t＞0时，F(t)＞
【正确答案】正确答案：(1)因为
∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr∫
0
t
drf(r
2
)dr一[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
＞0． 令 g(t)=∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr∫
0
t
f(r
2
)dr一[f(r
2
)rdr]
2
， 则 g"(t)=f(t
2
)∫
0
t
f(r
2
)(t一r)
2
dr＞0， 故g(t)在(0，+∞)内单调增加． 因为g(t)在t=0处连续，所以当t＞0时，有g(t)＞g(0)．又g(0)=0，故当t＞0时，g(t)＞0． 因此，当t＞0时，F(t)＞
∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr∫
0
t
drf(r
2
)dr一[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
＞0． 令 g(t)=∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr∫
0
t
f(r
2
)dr一[f(r
2
)rdr]
2
， 则 g"(t)=f(t
2
)∫
0
t
f(r
2
)(t一r)
2
dr＞0， 故g(t)在(0，+∞)内单调增加． 因为g(t)在t=0处连续，所以当t＞0时，有g(t)＞g(0)．又g(0)=0，故当t＞0时，g(t)＞0． 因此，当t＞0时，F(t)＞
【答案解析】