问答题
设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1．对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体．若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式．
【正确答案】
【答案解析】解 旋转体的体积
，侧面积
，由题设条件知
上式两端对t求导得
即
由分离变量法解得
即
将y(0)=1代入知C=1，故
于是所求函数为
，侧面积
，由题设条件知
上式两端对t求导得
即
由分离变量法解得
即
将y(0)=1代入知C=1，故
于是所求函数为