解答题
15.设f(x)在[a，＋∞)上可导，且当x＞a时，f'(x)＜k＜0(k为常数)。
证明：如果f(a)＞0，则方程f(x)＝0在区间
证明：如果f(a)＞0，则方程f(x)＝0在区间
【正确答案】证一 根据定积分的保序性，在不等式f'(x)＜k的两端从a到x积分，得到
∫axf'(t)dt＜∫axkdt＝k(x－a) ，
即 f(x)－f(a)＜k(x－a)，
亦即 f(x)＜f(a)＋k(x－a)(x＞a)。 ①
令f(a)＋k(x－a)＝0，解得x＝x0＝a－f(a)／k，在式①中令x＝x0得到f(x0)＜0。
又f(a)＞0，由零点定理知，f(x)＝0在(a，x0)＝(a，a－f(a)／k)内有实数根。
再由f'(x)＜0(x＞a)，且f(x)在x≥a处连续知，f(x)在[a，a－f(a)／k]上单调减少，故方程f(x)＝0在该区间只有一个实根。
证二 下用拉格朗日中值定理找出点x0，使f(x0)＜0。由题设知，f(x)在[a，a－f(a)／k]上满足拉格朗日中值定理条件，故有
其中a＜ξ＜a－f(a)／k，因f'(x)＜k＜0，故f'(x)／k＞1，因而由式②得到
∫axf'(t)dt＜∫axkdt＝k(x－a) ，
即 f(x)－f(a)＜k(x－a)，
亦即 f(x)＜f(a)＋k(x－a)(x＞a)。 ①
令f(a)＋k(x－a)＝0，解得x＝x0＝a－f(a)／k，在式①中令x＝x0得到f(x0)＜0。
又f(a)＞0，由零点定理知，f(x)＝0在(a，x0)＝(a，a－f(a)／k)内有实数根。
再由f'(x)＜0(x＞a)，且f(x)在x≥a处连续知，f(x)在[a，a－f(a)／k]上单调减少，故方程f(x)＝0在该区间只有一个实根。
证二 下用拉格朗日中值定理找出点x0，使f(x0)＜0。由题设知，f(x)在[a，a－f(a)／k]上满足拉格朗日中值定理条件，故有
其中a＜ξ＜a－f(a)／k，因f'(x)＜k＜0，故f'(x)／k＞1，因而由式②得到
【答案解析】[证题思路] 用零点定理证之，需找另一点x0，使f(x0)＜0。下面用定积分性质找出x0，也可用拉格朗日中值定理找出x0，使f(x0)＜0。