问答题
设总体X的概率分布为
其中参数θ∈(0，1)未知．以N
i
表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i＝1，2，3)．
试求常数a
1
，a
2
，a
3
，使T＝
其中参数θ∈(0，1)未知．以N
i
表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i＝1，2，3)．
试求常数a
1
，a
2
，a
3
，使T＝
【正确答案】正确答案：记p
1
＝1～θ，p
2
＝θ－θ
2
，p
3
＝θ
2
，则可知 N
i
～B(n，p
i
)，EN
i
＝np
i
，i＝1，2，3 且DN
1
＝np
1
(1－p
1
)＝nθ(1－θ) 于是ET＝
＝n[a
1
＋(a
2
－a
1
)θ＋(a
3
－a
2
)θ
2
] 为使T为θ的无偏估计量，即要求
θ∈(0，1)时有 ET＝θ即n[a
1
＋(a
2
－a
1
)θ＋(a
3
－a
2
)θ
2
]＝θ 比较系数即得：
故a
1
＝0，a
2
＝a
3
＝
． 又由N
1
＋N
2
＋N
3
＝n，得：
＝n[a
1
＋(a
2
－a
1
)θ＋(a
3
－a
2
)θ
2
] 为使T为θ的无偏估计量，即要求
θ∈(0，1)时有 ET＝θ即n[a
1
＋(a
2
－a
1
)θ＋(a
3
－a
2
)θ
2
]＝θ 比较系数即得：
故a
1
＝0，a
2
＝a
3
＝
． 又由N
1
＋N
2
＋N
3
＝n，得：
【答案解析】