设α
1
，α
2
，…，α
s
为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β
1
=t
1
α
1
+t
2
β
2
，β
2
=t
1
α
2
+t
2
α
3
，…，β
s
=t
1
α
s
+t
2
α
1
，其中t
1
，t
2
为实常数．试问t
1
，t
2
满足什么关系时，β
1
，β
2
，…，β
s
也为Ax=0的一个基础解系．
【正确答案】正确答案：由Aβ
1
=A(t
1
α
1
+t
2
α
2
)=t
1
Aα
1
+t
2
Aα
2
=0+0=0，知β
1
为Ax=0的解，同理可知β
2
，β
3
，…，β
s
均为Ax=0的解．已知Ax=0的基础解系含s个向量，故Ax=0的任何s个线性无关的解都可作为Ax=0的基础解系．因此β
1
，β
2
，…，β
s
为Ax=0的基础解系，当且仅当β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关． 设有一组数k
1
，k
2
，…，k
s
，使得 k
1
β
1
+k
2
β
2
+…+k
s
β
s
=0 即(t
1
k
1
+t
2
k
2
)α
1
+(t
2
k
1
+t
1
k
2
)α
2
+…+(t
2
k
s—1
+t
1
k
s
)α
s
=0， 由于α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，有
(*) 上面齐次线性方程组的系数行列式为
(*) 上面齐次线性方程组的系数行列式为
【答案解析】解析：本题综合考查齐次线性方程组的基础解系的概念及其只有零解的条件，向量组线性相关性的概念及其判定．注意本题判定β
1
，β
2
，…，β
s
的线性相关性，属于一种常见题型．