解答题
24.设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32,求参数a,b及正交矩阵Q.
【正确答案】二次型f=2x
12+2x
22+ax
32+2x
1x
2+2bx
1x
3+2x
2x
3的矩阵形式为
f=X
TAX.
其中A=

.因为Q
TAQ=B=

,所以A~B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵),于是A的特征值为1,1,4.
而|λE-A|=λ
3-(a+4)λ
2+(4a-b
2+2)λ+(-3a-2b+2b
2+2),所以有
λ
3-(a+4)λ
2+(4a-b
2+2)λ+(-3a-2b+2b
2+2)=(λ-1)
2(λ-4),
解得a=2,b=1.当λ
1=λ
2=1时,由(E-A)X=0得ξ
1=

.λ
3=4时,
由(4E-A)X=0得ξ
3=

.显然ξ
1,ξ
2,ξ
3两两正交,单位化为

【答案解析】