解答题
12.设A=E+ααT，其中α=(a1，a2，a3)T，且αTα=2，求A的特征值和特征向量．
【正确答案】由Aα=(E+ααT)α=α+ααTα=3α，于是得A的特征值λ1=3，其对应的特征向量为k1α，k1≠0为常数．
又由A=E+ααT，得A－E=ααT，两边取行列式|A－E|=|ααT|=0，由此知λ2=1是A的另一个特征值．
再由矩阵A的特征值的性质，trA=λ1+λ2+λ3=4+λ3，从而λ1=trA－4=3+αTα－4=1．
由于λ2=λ3=1，对应的特征矩阵为A－E，由题设条件α=(a1，a2，a3)T≠0，不妨设a1≠0，则
又由A=E+ααT，得A－E=ααT，两边取行列式|A－E|=|ααT|=0，由此知λ2=1是A的另一个特征值．
再由矩阵A的特征值的性质，trA=λ1+λ2+λ3=4+λ3，从而λ1=trA－4=3+αTα－4=1．
由于λ2=λ3=1，对应的特征矩阵为A－E，由题设条件α=(a1，a2，a3)T≠0，不妨设a1≠0，则
【答案解析】