设
【正确答案】正确答案：｜λE－A｜＝
＝(λ＋a－1)(λ－a)(λ－a－1)＝0，得矩阵A 的特征值为λ
1
＝1－a，λ
2
＝a，λ
3
＝λ＋a． (1)当1－a≠a，1－a≠1＋a，a≠1＋a，即a≠0且a≠
时，因为矩阵A有三个不 同的特征值，所以A一定可以对角化． λ
1
＝1－a时，由[(1－a)E－A]X＝0得ξ
1
＝
；λ
2
＝a时，由(aE－A)X＝0得ξ
2
＝
；λ
3
＝1＋a时，由[(1＋a)E－A]X＝0得ξ
3
＝
．
(2)当a＝0时，λ
1
＝λ
3
＝1， 因为r(E－A)＝2，所以方程组(E－A)X＝0的基础解系只含有一个线性无关的解向量， 故矩阵A不可以对角化． (3)当a＝
时，λ
1
＝λ
2
＝
， 因为r(
E－A)＝2，所以方程组(
＝(λ＋a－1)(λ－a)(λ－a－1)＝0，得矩阵A 的特征值为λ
1
＝1－a，λ
2
＝a，λ
3
＝λ＋a． (1)当1－a≠a，1－a≠1＋a，a≠1＋a，即a≠0且a≠
时，因为矩阵A有三个不 同的特征值，所以A一定可以对角化． λ
1
＝1－a时，由[(1－a)E－A]X＝0得ξ
1
＝
；λ
2
＝a时，由(aE－A)X＝0得ξ
2
＝
；λ
3
＝1＋a时，由[(1＋a)E－A]X＝0得ξ
3
＝
．
(2)当a＝0时，λ
1
＝λ
3
＝1， 因为r(E－A)＝2，所以方程组(E－A)X＝0的基础解系只含有一个线性无关的解向量， 故矩阵A不可以对角化． (3)当a＝
时，λ
1
＝λ
2
＝
， 因为r(
E－A)＝2，所以方程组(
【答案解析】