A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A
ij
为A中元素a
ij
的代数余子式，试证明：
(1)a
ij
=A
ij
→A
T
A=E且|A|=1；
(2)a
ij
=-A
ij
→A
T
A=E且|A|=一1．
【正确答案】正确答案：(1)当a
ij
=A
ij
时，有A
T
=A*，则A
T
A=AA*=|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即a
ij
不全为0，所以tr(AA
T
)=
而tr(AA
T
)=tr(|A|E)=n|A|，这说明|A|＞0．在AA
T
=|A|E两边取行列式，得|A|
n-2
=1，|A|=1． 反之，若A
T
A=E且|A|=1，则A
*
A=|A|E=E且A可逆，于是，A
T
A=A*A，A
T
=A*，即a
ij
=A
ij
． (2)当a
ij
=一A
ij
时，有A
T
=一A*，则A
T
A=-A*A=-|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即a
ij
一不全为0，所以
而tr(AA
T
)=tr(|A|E)=n|A|，这说明|A|＞0．在AA
T
=|A|E两边取行列式，得|A|
n-2
=1，|A|=1． 反之，若A
T
A=E且|A|=1，则A
*
A=|A|E=E且A可逆，于是，A
T
A=A*A，A
T
=A*，即a
ij
=A
ij
． (2)当a
ij
=一A
ij
时，有A
T
=一A*，则A
T
A=-A*A=-|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即a
ij
一不全为0，所以
【答案解析】