设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
一2x
1
x
2
—2x
1
x
3
+2ax
2
x
3
通过正交变换化为标准形2y
1
2
+2y
2
2
+by
3
2
。
问答题
求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；
【正确答案】正确答案：二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为
由矩阵B可知矩阵A的特征值为2，2，b。由矩阵A的迹tr(A)=3=2+2+b可得b=一1。 由于2是A的二重特征值，而实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有两个。于是矩阵2E一A的秩为1，而 2E－A=
， 所以a=一1。 由(λ
i
E—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ
1
=λ
2
=2和λ
3
=一1对应的特征向量分别为 α
1
=(1，0，一1)
T
，α
2
=(0，1，一1)
T
，α
3
=(1，1，1)
T
， 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α
1
，α
2
正交化，即 β
1
=α
1
=(1，0，一1)
T
，β
2
=α
2
一
(一1，2，一1)
T
， 再将β
1
，β
2
，α
3
单位化，即
由矩阵B可知矩阵A的特征值为2，2，b。由矩阵A的迹tr(A)=3=2+2+b可得b=一1。 由于2是A的二重特征值，而实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有两个。于是矩阵2E一A的秩为1，而 2E－A=
， 所以a=一1。 由(λ
i
E—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ
1
=λ
2
=2和λ
3
=一1对应的特征向量分别为 α
1
=(1，0，一1)
T
，α
2
=(0，1，一1)
T
，α
3
=(1，1，1)
T
， 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α
1
，α
2
正交化，即 β
1
=α
1
=(1，0，一1)
T
，β
2
=α
2
一
(一1，2，一1)
T
， 再将β
1
，β
2
，α
3
单位化，即
【答案解析】
问答题
求f在x
T
x=3下的最大值。
【正确答案】正确答案：二次型f=x
T
Ax在正交变换x=Qy下的标准形为2y
1
2
+2y
2
2
一y
3
2
。条件x
T
x=3等价于y
T
Q
T
Qy=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
=3，此时f=2y
1
2
+2y
2
2
一y
3
2
=6—3y
3
2
的最大值为6，所以f在x
T
x=3下的最大值是6。
【答案解析】