解答题
8.(2006年)设随机变量X的概率密度为fX(x)=
令Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数。求
(Ⅰ)Y的概率密度fY(y)；
(Ⅱ)Cov(X，Y)；
(Ⅲ)
令Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数。求(Ⅰ)Y的概率密度fY(y)；
(Ⅱ)Cov(X，Y)；
(Ⅲ)
【正确答案】(Ⅰ)设Y的分布函数为FY(y)，即FY(y)=P(Y≤y)P(X2≤y)，则
当y＜0时，FY(y)=0；当0≤y＜1时，
FY(y)=P(X2＜y)=
当1≤y＜4时，
FY(y)=P(X2＜y)=
当y≥4，FY(y)=1。所以
(Ⅱ)Cov(X，Y)=Cov(X，X2)=E(X2)-E(X)E(X2)，而
所以
(Ⅲ)
当y＜0时，FY(y)=0；当0≤y＜1时，
FY(y)=P(X2＜y)=
当1≤y＜4时，
FY(y)=P(X2＜y)=
当y≥4，FY(y)=1。所以
(Ⅱ)Cov(X，Y)=Cov(X，X2)=E(X2)-E(X)E(X2)，而
所以
(Ⅲ)
【答案解析】