问答题
设随机变量(X，Y)服从区域D上的均匀分布，D=(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，令U=(X+Y)2，试求EU与DU.
【正确答案】[解法一] 令V=X+Y，先求V的分布函数F(v)与密度函数f(v).
其中，D1与D2如图所示. 于是
故
又
因此
[解法二] 直接应用随机变量函数的期望公式：若(X，Y)～f(x，y)，则有
具体到本题
[解法三] 就本题具体条件可以判断该二维均匀分布随机变量(X，Y)的两个分量X与Y相互独立，且都服从区间[0，2]上均匀分布，因此有
由于X与Y独立，因此X3与Y，X2与Y2，X与Y3也分别独立，其乘积的期望等于期望的乘积.
EU2=EX4+4EX3EY+6EX2EY2+4EXEY3+EY4
其中，D1与D2如图所示. 于是
故
又
因此
[解法二] 直接应用随机变量函数的期望公式：若(X，Y)～f(x，y)，则有
具体到本题
[解法三] 就本题具体条件可以判断该二维均匀分布随机变量(X，Y)的两个分量X与Y相互独立，且都服从区间[0，2]上均匀分布，因此有
由于X与Y独立，因此X3与Y，X2与Y2，X与Y3也分别独立，其乘积的期望等于期望的乘积.
EU2=EX4+4EX3EY+6EX2EY2+4EXEY3+EY4
【答案解析】求一个随机变量U的数字特征，可以先求出U的概率密度，再计算EU与DU.
①在[解法一]中求X+Y的概率密度f(v)亦可用独立和的卷积公式，即
由于只有当0≤x≤2，0≤v-x≤2时，即0≤x≤2，v-2≤x≤t时，被积函数才不等于0，且此时
，于是
①在[解法一]中求X+Y的概率密度f(v)亦可用独立和的卷积公式，即
由于只有当0≤x≤2，0≤v-x≤2时，即0≤x≤2，v-2≤x≤t时，被积函数才不等于0，且此时
，于是