填空题
9.[2009年] 设α=[1，1，1]T，β=[1，0，k]T，若矩阵αβT相似于
- 1、
【正确答案】
1、2
【答案解析】解一 因αβT相似于
而
利用相似矩阵的性质即命题2．5．3．3(4)得到tr(αβT)=1+0+k=3+0+0，即k=2．
解二 设A=αβT，λ为A的特征值，而
故
A2=A·A=αβT·αβT=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(1+k)A，
所以λ2=(1+k)λ，即λ[λ－(1+k)]=0，从而λ=0或λ=1+k．
又A相似于对角矩阵
而利用相似矩阵的性质即命题2．5．3．3(4)得到tr(αβT)=1+0+k=3+0+0，即k=2．解二 设A=αβT，λ为A的特征值，而
故A2=A·A=αβT·αβT=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(1+k)A，
所以λ2=(1+k)λ，即λ[λ－(1+k)]=0，从而λ=0或λ=1+k．
又A相似于对角矩阵