单选题
线性方程组Ax=b的系数矩阵A是4×5的矩阵，且A的行向量组线性无关，则下列命题错误的是______
A．齐次方程组A T x=0只有零解
B．齐次方程组A T Ax=0必有无穷多解
C．
b，方程组A
T
x=b总有唯一解
D．
A．齐次方程组A T x=0只有零解
B．齐次方程组A T Ax=0必有无穷多解
C．
b，方程组A
T
x=b总有唯一解
D．
【正确答案】
C
【答案解析】[解析] 因为矩阵的秩r(A)=行秩=列秩，现A的行向量组线性无关，得r(A)=4.
A T 是5×4矩阵，r(A T )=r(A)=4，A T 的列向量线性无关，故A T x=0只有零解，A正确．
由于A T A是5阶矩阵，r(A T A)≤r(A)=4＜5，故|A T A|=0，因此A T Ax=0必有无穷多解，B亦正确．
对A按列分块，记A=(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 ，α 5 )，α i 是4维列向量，由于r(A)=4，A中有4个列向量线性无关，不妨设α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，那么b与α 5 均可由α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性表出，从而b可由α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 ，α 5 线性表出且表示法不唯一，即D正确．
A T 是5×4矩阵，r(A T )=r(A)=4，A T 的列向量线性无关，故A T x=0只有零解，A正确．
由于A T A是5阶矩阵，r(A T A)≤r(A)=4＜5，故|A T A|=0，因此A T Ax=0必有无穷多解，B亦正确．
对A按列分块，记A=(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 ，α 5 )，α i 是4维列向量，由于r(A)=4，A中有4个列向量线性无关，不妨设α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，那么b与α 5 均可由α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 线性表出，从而b可由α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 ，α 5 线性表出且表示法不唯一，即D正确．