问答题
可导函数y=f(x)由方程x
3
-3xy
2
+2y
3
=32所确定，试求f(x)的极大值与极小值．
【正确答案】
【答案解析】在方程两边同时对x求导，得到
3x 2 -3y 3 -6xyy"+6y 2 y"=3(x-y)(x+y-2yy")=0
由于x=y不满足原来的方程，又y=f(x)是可导函数，因此，
x-y≠0，x+y-2yy"=0
即
．令
，得到x+y=0，与原二元方程联立求解可得x=-2，y=2.由此可知，函数y=f(x)有唯一可能的极值点x=-2.又因为
故
因此，由函数取得极值的第二充分条件知，函数y=f(x)有唯一的极小值2，没有极大值． [解析] 函数y=f(x)是由方程所确定的隐函数，可利用隐函数求导公式求出
将
3x 2 -3y 3 -6xyy"+6y 2 y"=3(x-y)(x+y-2yy")=0
由于x=y不满足原来的方程，又y=f(x)是可导函数，因此，
x-y≠0，x+y-2yy"=0
即
．令
，得到x+y=0，与原二元方程联立求解可得x=-2，y=2.由此可知，函数y=f(x)有唯一可能的极值点x=-2.又因为
故
因此，由函数取得极值的第二充分条件知，函数y=f(x)有唯一的极小值2，没有极大值． [解析] 函数y=f(x)是由方程所确定的隐函数，可利用隐函数求导公式求出
将