解答题 15.设A为m×n矩阵,且r(A)=r()=r<n,其中=(Ab).
(Ⅰ)证明方程组AX=b有且仅有n-r+1个线性无关解;
(Ⅱ)若
【正确答案】(Ⅰ)令ξ1,ξ2,…,ξn-r…为AX=0的基础解系,η0为AX=b的特解,显然β0=η0,β1=ξ1+η0,…,βn-r=ξn-r+η0为AX=b的一组解,令k0β0+k1β1…+kn-rβn-r=0,即
k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+(k0+k1+…+kn-r0=0.
上式左乘A得(k0+k1…+kn-r)b=0,因为b≠0时,k0+k1…+kn-r=0,于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0,因为ξ1,ξ2,…,ξn-r为AX=0的基础解系,所以k1=k2=…=kn-r=0,于是k0=0,故β0,β1,…,βn-r线性无关.
若γ0,γ1,…,γn-r+1为AX=b的线性无关解,则ξ1=γ1-γ0,…,ξn-r+1=γ0为AX=0的解,令k1ξ1+k2ξ2+…+kn-r+1ξn-r+1=0,则
k1γ1+k2γ2+…+kn-r+1γn-r+1-(k1+k2+…+kn-r+1)γ=0.
因为γ0,γ1,…,γn-r+1线性无关,所以k1=k2=…kn-r+1=0,即ξ1,ξ2,…,ξn-r+1为AX=0的线性无关解,矛盾,故方程组AX=b恰有n-r+1个线性无关解.
(Ⅱ)令
化为AX=β.
因为AX=β有三个非零解,所以AX=0有两个非零解,故4-r(A)≥2,r(A)≤2,又因为r(A)≥2,所以r(A)=r()=2.

则a=-3,b=-1.
得原方程组的通解为
X=
【答案解析】