【正确答案】(Ⅰ)令ξ
1,ξ
2,…,ξ
n-r…为AX=0的基础解系,η
0为AX=b的特解,显然β
0=η
0,β
1=ξ
1+η
0,…,β
n-r=ξ
n-r+η
0为AX=b的一组解,令k
0β
0+k
1β
1…+k
n-rβ
n-r=0,即
k
1ξ
1+k
2ξ
2+…+k
n-rξ
n-r+(k
0+k
1+…+k
n-r)η
0=0.
上式左乘A得(k
0+k
1…+k
n-r)b=0,因为b≠0时,k
0+k
1…+k
n-r=0,于是k
1ξ
1+k
2ξ
2+…+k
n-rξ
n-r=0,因为ξ
1,ξ
2,…,ξ
n-r为AX=0的基础解系,所以k
1=k
2=…=k
n-r=0,于是k
0=0,故β
0,β
1,…,β
n-r线性无关.
若γ
0,γ
1,…,γ
n-r+1为AX=b的线性无关解,则ξ
1=γ
1-γ
0,…,ξ
n-r+1=γ
0为AX=0的解,令k
1ξ
1+k
2ξ
2+…+k
n-r+1ξ
n-r+1=0,则
k
1γ
1+k
2γ
2+…+k
n-r+1γ
n-r+1-(k
1+k
2+…+k
n-r+1)γ=0.
因为γ
0,γ
1,…,γ
n-r+1线性无关,所以k
1=k
2=…k
n-r+1=0,即ξ
1,ξ
2,…,ξ
n-r+1为AX=0的线性无关解,矛盾,故方程组AX=b恰有n-r+1个线性无关解.
(Ⅱ)令

则

化为AX=β.
因为AX=β有三个非零解,所以AX=0有两个非零解,故4-r(A)≥2,r(A)≤2,又因为r(A)≥2,所以r(A)=r(

)=2.

则a=-3,b=-1.
由

得原方程组的通解为
X=
