问答题
已知二次型2x
1
2
+3x
2
2
+3x
3
2
+2ax
2
x
3
(a＞0)可用正交变换化为y
1
2
+2y
2
2
+5y
3
2
，求a和所作正交变换．
【正确答案】正确答案：原二次型的矩阵A和化出二次型的矩阵B相似．
于是|A|=|B|=10．而|A|=2(9一a
2
)，得a
2
=4，a=2． A和B的特征值相同，为1，2，5．对这3个特征值求单位特征向量． 对于特征值1：
得(A—E)X=0的同解方程组
得属于1的一个特征向量η
1
=(0，1，一1)
T
，单位化得γ
1
=
对于特征值2：
得(A一2E)X=0的同解方程组
得属于2的一个单位特征向量γ
2
=(1，0，0)
T
． 对于特征值5：
得(A一5E)X=0的同解方程组
得属于5的一个特征向量η
3
=(0，1，1)
T
，单位化得γ
3
=
于是|A|=|B|=10．而|A|=2(9一a
2
)，得a
2
=4，a=2． A和B的特征值相同，为1，2，5．对这3个特征值求单位特征向量． 对于特征值1：
得(A—E)X=0的同解方程组
得属于1的一个特征向量η
1
=(0，1，一1)
T
，单位化得γ
1
=
对于特征值2：
得(A一2E)X=0的同解方程组
得属于2的一个单位特征向量γ
2
=(1，0，0)
T
． 对于特征值5：
得(A一5E)X=0的同解方程组
得属于5的一个特征向量η
3
=(0，1，1)
T
，单位化得γ
3
=
【答案解析】