设函数y=y（x）在（一∞，+∞）内具有二阶导数，且y'≠0，x=x（y）是y=y（x）的反函数。（Ⅰ）试将x=x（y）所满足的微分方程
=0变换为y=y（x）满足的微分方程；（Ⅱ）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）=0，y'（0）=
=0变换为y=y（x）满足的微分方程；（Ⅱ）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）=0，y'（0）=
【正确答案】正确答案：（Ⅰ）由反函数的求导公式知
，于是有
代入原微分方程得 y"一y=sinx。 （Ⅱ）方程（*）所对应的齐次方程y"一y=0的通解为 y=C
1
e
x
+C
2
e
—x
。 设方程（*）的特解为 y
*
=Acosx+Bsinx， 代入方程（*），求得A=0，B=
，故y
*
=
，因此y"一y=sinx的通解是 y=y+y
*
=C
1
e
x
+C
2
e
—x
—
sinx。 由y（0）=0，y'（0）=
，得C
1
=1，C
2
=一1。故所求初值问题的特解为 y=e
x
—e
—x
一
，于是有
代入原微分方程得 y"一y=sinx。 （Ⅱ）方程（*）所对应的齐次方程y"一y=0的通解为 y=C
1
e
x
+C
2
e
—x
。 设方程（*）的特解为 y
*
=Acosx+Bsinx， 代入方程（*），求得A=0，B=
，故y
*
=
，因此y"一y=sinx的通解是 y=y+y
*
=C
1
e
x
+C
2
e
—x
—
sinx。 由y（0）=0，y'（0）=
，得C
1
=1，C
2
=一1。故所求初值问题的特解为 y=e
x
—e
—x
一
【答案解析】