问答题
设总体X的概率密度为
问答题
求参数λ的矩估计量；
【正确答案】解 由[*]
∴[*] 得[*]为λ的矩估计．
【答案解析】
问答题
求参数λ的最大似然估计量．
【正确答案】似然函数为
[*]
当x1，x2，…，xn＞0时，
[*]∴[*]，令[*] 得[*]
故[*]为λ的最大似然估计．
其中“[*]”很多人用分部积分做，其实如果对概率论很熟的话，可用如下方法：设随机变量ξ服从参数为λ的指数分布(与总体X无关)，其概率密度则为
[*]
并知[*]．则Eξ=Dξ+(Eξ)2=[*]，又[*]，比较立得该积分值，这样是否快点儿(也不易出错)?
[*]
当x1，x2，…，xn＞0时，
[*]∴[*]，令[*] 得[*]
故[*]为λ的最大似然估计．
其中“[*]”很多人用分部积分做，其实如果对概率论很熟的话，可用如下方法：设随机变量ξ服从参数为λ的指数分布(与总体X无关)，其概率密度则为
[*]
并知[*]．则Eξ=Dξ+(Eξ)2=[*]，又[*]，比较立得该积分值，这样是否快点儿(也不易出错)?
【答案解析】
问答题
设总体X的概率分布为
，
其中参数θ∈(0，1)未知．以Ni表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i=1，2，3)．试求常数a1，a2，a3，使
，其中参数θ∈(0，1)未知．以Ni表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i=1，2，3)．试求常数a1，a2，a3，使
【正确答案】解 记p1=1-θ，p2=θ-θ2，p3=θ2，则可知
Ni～B(n，pi)，ENi=npi，i=1，2，3
且DN1=np1(1-p1)=nθ(1-θ)
于是ET=[*]=n[a1+(a2-a1)θ+(a3-a2)θ2]
为使T为θ的无偏估计量，即要求[*]θ∈(0，1)时有
ET=θ 即n[a1+(a2-a1)θ+(a3-a2)θ2]=θ
比较系数即得：
[*]
故a1=0，a2=a3=[*]．
又由N1+N2+N3=n，得：
[*]．
Ni～B(n，pi)，ENi=npi，i=1，2，3
且DN1=np1(1-p1)=nθ(1-θ)
于是ET=[*]=n[a1+(a2-a1)θ+(a3-a2)θ2]
为使T为θ的无偏估计量，即要求[*]θ∈(0，1)时有
ET=θ 即n[a1+(a2-a1)θ+(a3-a2)θ2]=θ
比较系数即得：
[*]
故a1=0，a2=a3=[*]．
又由N1+N2+N3=n，得：
[*]．
【答案解析】本题对数理统计的考查只是一个“无偏估计量”的概念，当然还要求学生熟悉“简单随机样本”、“样本容量”这些基本概念(二项分布要求的“独立”、“重复”都是“简单随机样本”里满足的，求DT时，注意N1，N2，N3(3个随机变量)并无独立性，不能作“[*]”一类的式子．当然，如果去求Cov(N1，N2)，E(N1N2)一类式子就较麻烦，因为牵涉(N1，N2)的联合分布(多项分布)了．