设f(x)在区间[0，1]上连续，请用重积分方法证明：∫
0
1
f(x)dx∫
x
1
f(y)dy=1／2[∫
0
1
f(x)dx]
2
．
【正确答案】正确答案：先将累次积分表示成二重积分，则有 I=∫
0
1
f(x)dx∫
x
1
f(y)dy=
f(x)f(y)dxdy， 其中D={(x，y)}0≤x≤1，x≤y≤1}，如图9．33，它与D'={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}关于y=x对称．于是
=∫
0
1
dx∫
0
1
f(x)f(y)dy =∫
0
1
f(x)dx．∫
0
1
f(y)dy=[∫
0
1
f(x)dx]
2
， 因此，I=1／2[∫
0
1
f(x)dx]
2
．
f(x)f(y)dxdy， 其中D={(x，y)}0≤x≤1，x≤y≤1}，如图9．33，它与D'={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}关于y=x对称．于是
=∫
0
1
dx∫
0
1
f(x)f(y)dy =∫
0
1
f(x)dx．∫
0
1
f(y)dy=[∫
0
1
f(x)dx]
2
， 因此，I=1／2[∫
0
1
f(x)dx]
2
．
【答案解析】