(2012年试题，三)已知
【正确答案】正确答案：(1)由题，二次型的秩为2，意即矩阵A
T
A的秩也为2,｜A
T
A｜=0，
=(a
2
+3)(a+1)
2
=0，得a=一1(2)将a=一1代入A
T
A中，得
得A
T
A的特征值λ
1
=0，λ
2
=2，λ
3
=6．分别将特征值λ
1
，λ
2
，λ
3
代入(A
T
E—A
T
A)X=0，求得对应各自特征值的特征向量为ξ
1
=(1，1，一1)
T
ξ
2
=(1，一1，0)
T
ξ
3
=(1，1，2)
T
再分别将ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
单位化，得
=(a
2
+3)(a+1)
2
=0，得a=一1(2)将a=一1代入A
T
A中，得
得A
T
A的特征值λ
1
=0，λ
2
=2，λ
3
=6．分别将特征值λ
1
，λ
2
，λ
3
代入(A
T
E—A
T
A)X=0，求得对应各自特征值的特征向量为ξ
1
=(1，1，一1)
T
ξ
2
=(1，一1，0)
T
ξ
3
=(1，1，2)
T
再分别将ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
单位化，得
【答案解析】