要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为h，上底面直径为2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数ρ．设水泥的比重为ρ，试求桥墩的形状．
【正确答案】正确答案：首先建立坐标系，如图6．3所示，x轴为桥墩中心轴，y轴为水平轴．设桥墩侧面的曲线方程为y=y(x)．
其次列出y(x)满足的方程．由于顶面的压强也为p，则顶面承受的压力为F=pπa
2
． 考察中心轴上点x处的水平截面上所受总压力，它应等于压强×截面积=pπy
2
(x)，另一方面又等于 顶面的压力+该截面上方桥墩的重量=pπa
2
+∫
x
h
pπy
2
(s)ds． 于是得pπy
2
(x)=pπa
2
+ρπ∫
x
h
y
2
(s)ds． 再将积分方程转化为微分方程的初值问题．将上述方程两边对x求导得 2pπyy'=-ρπy
2
．又在(*)式中令x=h得y(h)=a，于是得到
最后求解初值问题．这是一阶线性齐次方程的初值问题，易求得
其次列出y(x)满足的方程．由于顶面的压强也为p，则顶面承受的压力为F=pπa
2
． 考察中心轴上点x处的水平截面上所受总压力，它应等于压强×截面积=pπy
2
(x)，另一方面又等于 顶面的压力+该截面上方桥墩的重量=pπa
2
+∫
x
h
pπy
2
(s)ds． 于是得pπy
2
(x)=pπa
2
+ρπ∫
x
h
y
2
(s)ds． 再将积分方程转化为微分方程的初值问题．将上述方程两边对x求导得 2pπyy'=-ρπy
2
．又在(*)式中令x=h得y(h)=a，于是得到
最后求解初值问题．这是一阶线性齐次方程的初值问题，易求得
【答案解析】