问答题
设函数f(x)在[-2，2]上二阶可导，且|f(x)|≤1，又f
2
(0)+[f"(0)]
2
=4．试证：在(-2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f""(ξ)=0．
【正确答案】
【答案解析】【证】f(0)-f(-2)=2f"(ξ
1
)，-2＜ξ
1
＜0，
f(2)-f(0)=2f"(ξ 2 )，0＜ξ 2 ＜2．
由|f(x)|≤1知
令φ(x)=f 2 (x)+[f"(x)] 2 ，则有φ(ξ 1 )≤2，φ(ξ 2 )≤2．
因为φ(x)在[ξ 1 ，ξ 2 ]上连续，且φ(0)=4，设φ(x)在[ξ 1 ，ξ 2 ]上的最大值在ξ∈[ξ 1 ，ξ 2 ]
f(2)-f(0)=2f"(ξ 2 )，0＜ξ 2 ＜2．
由|f(x)|≤1知
令φ(x)=f 2 (x)+[f"(x)] 2 ，则有φ(ξ 1 )≤2，φ(ξ 2 )≤2．
因为φ(x)在[ξ 1 ，ξ 2 ]上连续，且φ(0)=4，设φ(x)在[ξ 1 ，ξ 2 ]上的最大值在ξ∈[ξ 1 ，ξ 2 ]