设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f"(x)|≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：|f'(x)|≤1／2(x∈[0，1])．
【正确答案】正确答案：由泰勒公式得 f(0)=f(x)－f’(x)x+
f"(ξ
1
)x
2
，ξ
1
∈(0，x)， f(1)=f(x)+f'(x)(1－x)+
f"(ξ
2
)(1－x)
2
，ξ
2
∈(x，1)， 两式相减，得f'(x)=1／2f"(ξ
1
)x
2
－
f"(ξ
2
)(1－x)
2
． 两边取绝对值，再由|f"(x)|≤1，得 |f'(x)|≤1／2[x
2
+(1－x)
2
]=(x－
f"(ξ
1
)x
2
，ξ
1
∈(0，x)， f(1)=f(x)+f'(x)(1－x)+
f"(ξ
2
)(1－x)
2
，ξ
2
∈(x，1)， 两式相减，得f'(x)=1／2f"(ξ
1
)x
2
－
f"(ξ
2
)(1－x)
2
． 两边取绝对值，再由|f"(x)|≤1，得 |f'(x)|≤1／2[x
2
+(1－x)
2
]=(x－
【答案解析】