解答题
设点M(ξ，η，ζ)是椭球面
上第一卦限中的点，S是该椭球面在点M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧．求点(ξ，η，ζ)使曲面积分
上第一卦限中的点，S是该椭球面在点M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧．求点(ξ，η，ζ)使曲面积分
【正确答案】
【答案解析】[解] 曲面
上点M(ξ，η，ζ)处的法向量为
切平面方程是
化简即得
该切平面被三个坐标面截得的三角形在xOy平面上的投影区域为
从而
所以
0＜ξ＜a，0＜η＜b，0＜ζ＜c．
求I的最小值等价于求w=ξηζ，0＜ξ＜a，0＜η＜b，0＜ζ＜c的最大值，约束条件是
由拉格朗日乘数法得
显然，当ξ=a或ξ=0时，w最小．
故当点
时，w最大，I的最小值为
上点M(ξ，η，ζ)处的法向量为切平面方程是化简即得
该切平面被三个坐标面截得的三角形在xOy平面上的投影区域为
从而
所以
0＜ξ＜a，0＜η＜b，0＜ζ＜c．求I的最小值等价于求w=ξηζ，0＜ξ＜a，0＜η＜b，0＜ζ＜c的最大值，约束条件是
由拉格朗日乘数法得
显然，当ξ=a或ξ=0时，w最小．故当点
时，w最大，I的最小值为