问答题
已知三维列向量α
1
，α
2
线性无关，β
1
，β
2
线性无关．
问答题
证明存在非零向量ξ既可由α
1
，α
2
线性表示，也可以由β
1
，β
2
线性表示；
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)因4个3维向量必线相关，故存在一组不全为零的数k
1
，k
2
，k
3
，k
4
，使得
k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 β 1 +k 4 β 2 =0，
其中k 1 ，k 2 不全为零，反证即可．事实上，若k 1 =k 2 =0，则有k 3 β 1 +k 4 β 2 =0，而β 1 ，β 2 线性无关，从而k 3 =k 4 =0，与题设k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 不全为零矛盾，于是k 1 α 1 +k 2 α 2 =-k 3 β 1 -k 4 β 2 =ξ．
由于k 1 ，k 2 不全为零，同理k 3 ，k 4 不全为零，又α 1 ，α 2 线性无关，β 1 ，β 2 线性无关，于是
k 1 α 1 +k 2 α 2 =-k 3 β 1 -k 4 β 2 =ξ≠0．
k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 β 1 +k 4 β 2 =0，
其中k 1 ，k 2 不全为零，反证即可．事实上，若k 1 =k 2 =0，则有k 3 β 1 +k 4 β 2 =0，而β 1 ，β 2 线性无关，从而k 3 =k 4 =0，与题设k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 不全为零矛盾，于是k 1 α 1 +k 2 α 2 =-k 3 β 1 -k 4 β 2 =ξ．
由于k 1 ，k 2 不全为零，同理k 3 ，k 4 不全为零，又α 1 ，α 2 线性无关，β 1 ，β 2 线性无关，于是
k 1 α 1 +k 2 α 2 =-k 3 β 1 -k 4 β 2 =ξ≠0．
问答题
设α
1
=(-1，2，3)
T
，α
2
=(1，-2，-4)
T
，β
1
=(-2，a，7)
T
，β
2
=(-1，2，5)
T
，求(Ⅰ)中的ξ．
【正确答案】
【答案解析】解齐次线性方程组
k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 β 1 +k 4 β 2 =0，
即
①的通解为
c为任意非零常数．
①的通解为
c
1
，c
2
为不同时为零的任意常数．
k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 β 1 +k 4 β 2 =0，
即
①的通解为
c为任意非零常数．
①的通解为
c
1
，c
2
为不同时为零的任意常数．