问答题
设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A
2
α线性无关，且A
3
α=3Aα-2A
2
α．
证明：(Ⅰ)矩阵B=(α，Aα，A 4 α)可逆；
(Ⅱ)B T B是正定矩阵．
证明：(Ⅰ)矩阵B=(α，Aα，A 4 α)可逆；
(Ⅱ)B T B是正定矩阵．
【正确答案】
【答案解析】[证明] (Ⅰ)由于A
3
α=3Aα-2A
2
α，故
A 4 α=3A 2 α-2A 3 α=3A 2 α-2(3Aα-2A 2 α)=7A 2 α-6Aα．
若k 1 α+k 2 Aα+k 3 A 4 α=0，即k 1 α+k 2 Aα+k 3 (7A 2 α-6Aα)=0，
亦即k 1 α+(k 2 -6k 3 )Aα+7k 3 A 2 α=0，因为α，Aα，A 2 α线性无关，故
所以，α，Aα，A 4 α线性无关，因而矩阵B可逆．
(Ⅱ)因为(B T B) T =B T (B T ) T =B T B，故B T B是对称矩阵．又
，由于矩阵B可逆，恒有Bx≠0，那么恒有x
T
(B
T
B)x=(Bx)
T
(Bx)＞0，故二次型x
T
(B
T
B)x是正定二次型，从而矩阵B
T
B是正定矩阵．
A 4 α=3A 2 α-2A 3 α=3A 2 α-2(3Aα-2A 2 α)=7A 2 α-6Aα．
若k 1 α+k 2 Aα+k 3 A 4 α=0，即k 1 α+k 2 Aα+k 3 (7A 2 α-6Aα)=0，
亦即k 1 α+(k 2 -6k 3 )Aα+7k 3 A 2 α=0，因为α，Aα，A 2 α线性无关，故
所以，α，Aα，A 4 α线性无关，因而矩阵B可逆．
(Ⅱ)因为(B T B) T =B T (B T ) T =B T B，故B T B是对称矩阵．又
，由于矩阵B可逆，恒有Bx≠0，那么恒有x
T
(B
T
B)x=(Bx)
T
(Bx)＞0，故二次型x
T
(B
T
B)x是正定二次型，从而矩阵B
T
B是正定矩阵．