如图所示，设0＜a＜b，函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可微，且f(x)＞0，f(a)=f(b)=0。设l为绕原点O可转动的细棍(射线)，放手后落在函数f(x)的图像上并支撑在点(ζ，f(ζ))，从直观上看，
证明：函数
在x=ζ处取得最大值，并证明(*)式。
证明：函数
在x=ζ处取得最大值，并证明(*)式。
【正确答案】
证：由题意，放手后直线l落在函数f(x)的图像上并支撑在点(ζ，f(ζ))，所以对
，有
，且当x=ζ时等号成立(函数
在x=ζ处取得最大值0)。因为0＜a＜b，所以不等式两边同除x并移项得
。因此，
在x=ζ处取得最大值。
引入辅助函数
。因为f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可微，所以G(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可微，又根据前面的分析知，函数G(x)在内点x=ζ处取得最大值0，所以x=ζ是函数G(x)的极大值点，于是由费马定理知，
，即有
【答案解析】