问答题
已知函数f(x，y)=x+y+xy，曲线C：x
2
+y
2
+xy=3，求f(x，y)在曲线C上的最大方向导数。
【正确答案】
【答案解析】解：f(x，y)沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模。
因为f" x (x，y)=1+y，f" y (x，y)=1+x，故gradf(x，y)=(1+y，1+x)，
模为
，此题目转化为求函数
在约束条件C：x
2
+y
2
+xy=3下的最大值，即为条件极值问题。
为了计算简单，可以转化为求d(x，y)=(1+y) 2 +(1+x) 2 在约束条件C：x 2 +y 2 +xy=3下的最大值。
构造函数：F(x，y，λ)=(1+y) 2 +(1+x) 2 +λ(x 2 +y 2 +xy-3)，
得到M 1 {1，1}，M 2 {-1，-1}，M 3 {2，-1}，M 4 {-1，2}。
因此，d{M 1 }=8，d{M 2 }=0，d{M 3 }=9，d{M 4 }=9，
故f(x，y)在曲线C上的最大方向导数为
因为f" x (x，y)=1+y，f" y (x，y)=1+x，故gradf(x，y)=(1+y，1+x)，
模为
，此题目转化为求函数
在约束条件C：x
2
+y
2
+xy=3下的最大值，即为条件极值问题。
为了计算简单，可以转化为求d(x，y)=(1+y) 2 +(1+x) 2 在约束条件C：x 2 +y 2 +xy=3下的最大值。
构造函数：F(x，y，λ)=(1+y) 2 +(1+x) 2 +λ(x 2 +y 2 +xy-3)，
得到M 1 {1，1}，M 2 {-1，-1}，M 3 {2，-1}，M 4 {-1，2}。
因此，d{M 1 }=8，d{M 2 }=0，d{M 3 }=9，d{M 4 }=9，
故f(x，y)在曲线C上的最大方向导数为