问答题
设函数f(x)=x2，x∈[0，π]，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明
【正确答案】方法一：将f(x)作奇延拓，展开为正弦级数，令
则
an=0，n=0，1，2，…，
．
故由狄利克雷定理，可知
．
而当x=π时，该级数收敛于零．
方法二：将f(x)作偶延拓，展开为余弦级数，令g2(x)=x2，-π≤x≤π，则
bn=0，n=1，2，…，
，
，
故由收敛定理，可知
，0≤x≤π．
令x=π得，
，即
．
方法三：将f(x)作做零延拓，令
且由零延拓与奇、偶延拓的关系，即知
，因此，利用方法一和方法二的结果，有
．
在x=π处，该级数收敛于
．因此有
则an=0，n=0，1，2，…，
．故由狄利克雷定理，可知
．而当x=π时，该级数收敛于零．
方法二：将f(x)作偶延拓，展开为余弦级数，令g2(x)=x2，-π≤x≤π，则
bn=0，n=1，2，…，
，，故由收敛定理，可知
，0≤x≤π．令x=π得，
，即．方法三：将f(x)作做零延拓，令
且由零延拓与奇、偶延拓的关系，即知，因此，利用方法一和方法二的结果，有．在x=π处，该级数收敛于
．因此有【答案解析】