设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f"
+
(a)f"
一
(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g"(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
【正确答案】正确答案：设f
一
"
(a)＞0，f
一
"
(b)＞0， 由f
一
"
(a)＞0，存在x
1
∈(a，b)，使得f(x
1
)＞f(a)=0； 由f
一
"
(b)＞0，存在x
2
∈(a，b)，使得f(x
2
)＜f(b)=0， 因为f(x
1
)f(x
2
)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)=0． 令h(x)=
，显然h(x)在[a，b]上连续，由h(a)=h(f)=h(b)=0， 存在ξ
1
∈(a，c)，ξ
2
∈(c，b)，使得h"(ξ
1
)=h"(ξ
2
)=0，而
令φ(x)=f"(x)g(x)一f(x)g"(x)，φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(ξ
1
，ξ
2
)
(a，b)，使得φ"(ξ)=0， 而φ"(x)=f"(x)g(x)一f(x)g"(x)，所以
，显然h(x)在[a，b]上连续，由h(a)=h(f)=h(b)=0， 存在ξ
1
∈(a，c)，ξ
2
∈(c，b)，使得h"(ξ
1
)=h"(ξ
2
)=0，而
令φ(x)=f"(x)g(x)一f(x)g"(x)，φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(ξ
1
，ξ
2
)
(a，b)，使得φ"(ξ)=0， 而φ"(x)=f"(x)g(x)一f(x)g"(x)，所以
【答案解析】