解答题
8.设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y'(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程。
【正确答案】如图，曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y－y(x)=y'(x)(X－x)。
所以切线与x轴的交点为(x－
，0)。
由于y'(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞0(x＞0)。于是
S1=1／2y|x－(x－
)"=y2／2y'
又S2=∫0xy(t)dt，
根据题设2S1－S2=1，即2．y2／2y'－∫0xy(t)dt=1，两边对x求导并化简得yy"=(y')2，这是可降阶的二阶常微分方程，令p=y'，则
则上述方程可化为ypdp／dy=p2分离变量得dp／p=dy／y，解得p=C1y，即dy／dx=C1y，从而有
根据y(0)=1，y'(0)=1，可得C1=1，C2=0，故所求曲线得方程为y=ex。
所以切线与x轴的交点为(x－
，0)。由于y'(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞0(x＞0)。于是
S1=1／2y|x－(x－
)"=y2／2y'又S2=∫0xy(t)dt，
根据题设2S1－S2=1，即2．y2／2y'－∫0xy(t)dt=1，两边对x求导并化简得yy"=(y')2，这是可降阶的二阶常微分方程，令p=y'，则
则上述方程可化为ypdp／dy=p2分离变量得dp／p=dy／y，解得p=C1y，即dy／dx=C1y，从而有
根据y(0)=1，y'(0)=1，可得C1=1，C2=0，故所求曲线得方程为y=ex。
【答案解析】