设y=y(x)是由方程2y
3
-2y
2
+2xy-x
2
=1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)先用隐函数求导法求出y'(x)．将方程两边对x求导得 6y
2
y'-4yy'+2xy'+2y-2x=0， 整理得
(Ⅱ)由y'(x)=0及原方程确定驻点．由y'(x)=0得y=x代入原方程得 2x
3
-2x
2
+2xx-x
2
=1，即x
3
-x
2
+x
3
-1=0，(x-1)(2x
2
+x+1)=0． 仅有根x=1．当y=x=1时，3y
2
-2y+x≠0．因此求得驻点x=1． (Ⅲ)判定驻点是否是极值点．将①式化为(3y
2
-2y+x)y'=x-y． ② 将②式两边对x在x=1求导，注意y'(1)=0，y(1)=1，得 2y''(1)=1，y"(1)=
(Ⅱ)由y'(x)=0及原方程确定驻点．由y'(x)=0得y=x代入原方程得 2x
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-2x
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+2xx-x
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=1，即x
3
-x
2
+x
3
-1=0，(x-1)(2x
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+x+1)=0． 仅有根x=1．当y=x=1时，3y
2
-2y+x≠0．因此求得驻点x=1． (Ⅲ)判定驻点是否是极值点．将①式化为(3y
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-2y+x)y'=x-y． ② 将②式两边对x在x=1求导，注意y'(1)=0，y(1)=1，得 2y''(1)=1，y"(1)=
【答案解析】