设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸孤AB上的任意点(图6．5)．已知凸弧与弦AP之间的面积为x
3
，求此凸弧的方程．
【正确答案】正确答案：设凸弧的方程为y=f(x)，因梯形OAPC的面积为
[1+f(x)]． 故 x
3
=∫
0
x
f(t)dt-
[1+f(x)]． 两边对x求导，则得y=f(x)所满足的微分方程为 xy'-y=-6x
2
-1． (原方程中令x=0得0=0，不必另加条件，它与原方程等价) 其通解为
=Cx-6x
2
+1． 对任意常数C，总有y(0)=1，即此曲线族均通过点A(0，1)． 又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)=0，由此即得C=5，即所求曲线为y=5x-6x
2
+1．
[1+f(x)]． 故 x
3
=∫
0
x
f(t)dt-
[1+f(x)]． 两边对x求导，则得y=f(x)所满足的微分方程为 xy'-y=-6x
2
-1． (原方程中令x=0得0=0，不必另加条件，它与原方程等价) 其通解为
=Cx-6x
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+1． 对任意常数C，总有y(0)=1，即此曲线族均通过点A(0，1)． 又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)=0，由此即得C=5，即所求曲线为y=5x-6x
2
+1．
【答案解析】