问答题
设y(x)＞0，y(0)=1，y'(0)=1，又曲线y=y(x)是单调的，凹凸性不变，且其上任意点处的切线及y轴和y=y(x)所围成的平面图形的面积等于切点处横坐标的立方，求L的方程．
【正确答案】此题是基于积分给出数量关系的微分方程的求解问题．应特别注意由曲边梯形面积确定数量关系的正确性．
任意点P的坐标为(x，y)，如右图其切线方程为曲边三角形的面积
根据题设，有
两边对x求导，得
y"=6
y=3x2+c1x+c2
由初始条件 y(0)=1，y'(0)=1，得c2=1，c1=1，
L的方程为
y=3x2+x+1
当曲边三角形的面积
则L的方程为
y=-3x2+x+1
根据题设y(x)＞0，所以这个结果不符要求，舍去．
综合上述讨论，所求的L的方程为
y=3x2+x+1
任意点P的坐标为(x，y)，如右图其切线方程为曲边三角形的面积
根据题设，有
两边对x求导，得
y"=6
y=3x2+c1x+c2
由初始条件 y(0)=1，y'(0)=1，得c2=1，c1=1，
L的方程为
y=3x2+x+1
当曲边三角形的面积
则L的方程为
y=-3x2+x+1
根据题设y(x)＞0，所以这个结果不符要求，舍去．
综合上述讨论，所求的L的方程为
y=3x2+x+1
【答案解析】[考点提示] 曲面积分