解答题
2.
设B是可逆阵,A和B同阶,且满足A
2
+AB+B
2
=O.证明:A和A+B都是可逆阵,并求A
-1
和(A+B)
-1
.
【正确答案】
由题设:A
2
+AB+B
2
=O,得
A(A+B)=-B
2
. ①
①式右乘(-B
2
)
-1
,得A(A+B)(-B
2
)
-1
=E,得A可逆,且
A
-1
=(A+B)(-B
2
)
-1
.
①式左乘(-B
2
)
-1
,得(-B
2
)
-1
A(A+B)=E,得A+B可逆,且
(A+B)
-1
=(-B
2
)
-1
A.
【答案解析】
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