解答题 2.设B是可逆阵,A和B同阶,且满足A2+AB+B2=O.证明:A和A+B都是可逆阵,并求A-1和(A+B)-1
【正确答案】由题设:A2+AB+B2=O,得
A(A+B)=-B2. ①
①式右乘(-B2)-1,得A(A+B)(-B2)-1=E,得A可逆,且
A-1=(A+B)(-B2)-1
①式左乘(-B2)-1,得(-B2)-1A(A+B)=E,得A+B可逆,且
(A+B)-1=(-B2)-1A.
【答案解析】