解答题
2.(Ⅰ)比较∫01|lnt|[ln(l+t)]ndt与∫01tn|lnt|dt(n=1，2，…)的大小，说明理由；
(Ⅱ)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求极限
(Ⅱ)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求极限
【正确答案】(Ⅰ)当0≤t≤1时，因为ln(1+t)≤t，所以
|lnt|[ln(1+t)]n≤tn|lnt|，
因此 ∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt≤tn|lnt|dt．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知0≤un=∫01|lnt| [ln(1+t)]dt≤∫01tn|lnt|dt．
因为∫01|lnt|dt=一∫01tnlntdt=
|lnt|[ln(1+t)]n≤tn|lnt|，
因此 ∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt≤tn|lnt|dt．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知0≤un=∫01|lnt| [ln(1+t)]dt≤∫01tn|lnt|dt．
因为∫01|lnt|dt=一∫01tnlntdt=
【答案解析】