问答题
已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(1一a)x
1
2
+(1一a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2．
(1)求a．
(2)求作正交变换X=QY，把f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准形．
(3)求方程f(x
1
，x
2
，x
3
)=0的解．
【正确答案】正确答案：(1)此二次型的矩阵为
则r(A)=2，|A|=0．求得|A|=-8a，得a=0．
(2)|λE—A|=
=λ(λ一2)
2
， 得A的特征值为2，2，0． 对特征值2求两个正交的单位特征向量：
得(A一2E)X=0的同解方程组x
1
一x
2
=0，求出基础解系η
1
=(0，0，1)
T
，η
2
=(1，1，0)
T
．它们正交，单位化：α
1
=η
1
，α
2
=
方程x
1
一x
2
=0的系数向量(1，一1，0)
T
和η
1
，η
2
都正交，是属于特征值0的一个特征向量，单位化得
作正交矩阵Q=(α
1
，α
2
，α
3
)，则
作正交变换X=QY，则f化为Y的二次型f=2y
1
2
+2y
2
2
． (3)f(X)=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
+2x
3
2
于是f(x
1
，x
2
，x
3
)=0
求得通解为：
则r(A)=2，|A|=0．求得|A|=-8a，得a=0．
(2)|λE—A|=
=λ(λ一2)
2
， 得A的特征值为2，2，0． 对特征值2求两个正交的单位特征向量：
得(A一2E)X=0的同解方程组x
1
一x
2
=0，求出基础解系η
1
=(0，0，1)
T
，η
2
=(1，1，0)
T
．它们正交，单位化：α
1
=η
1
，α
2
=
方程x
1
一x
2
=0的系数向量(1，一1，0)
T
和η
1
，η
2
都正交，是属于特征值0的一个特征向量，单位化得
作正交矩阵Q=(α
1
，α
2
，α
3
)，则
作正交变换X=QY，则f化为Y的二次型f=2y
1
2
+2y
2
2
． (3)f(X)=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
+2x
3
2
于是f(x
1
，x
2
，x
3
)=0
求得通解为：
【答案解析】