解答题
设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0未知．从这批器件中任取n只在时刻t=0时投入独立的寿命试验，试验进行到预订时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效．
求：(Ⅰ)一只器件在时间T0未失效的概率；
(Ⅱ)λ的最大似然估计量．
求：(Ⅰ)一只器件在时间T0未失效的概率；
(Ⅱ)λ的最大似然估计量．
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)记T的分布函数为F(t)，则
一只器件在t=0时投入试验，则在时间T0以前失效的概率为P{T≤T0}=F(T0)=1-e-λT0，故在时间T0未失效的概率为
P{T＞T0}=1-F(T0)=e-λT0．
(Ⅱ)考虑事件A={试验直至时间T0为止，有k只器件失效，n-k只未失效}的概率．
由于各只器件的试验是相互独立的，因此事件A的概率为
这就是所求的似然函数．取对数得
则ne-λT0=n-k，解得λ的最大似然估计量为
一只器件在t=0时投入试验，则在时间T0以前失效的概率为P{T≤T0}=F(T0)=1-e-λT0，故在时间T0未失效的概率为
P{T＞T0}=1-F(T0)=e-λT0．
(Ⅱ)考虑事件A={试验直至时间T0为止，有k只器件失效，n-k只未失效}的概率．
由于各只器件的试验是相互独立的，因此事件A的概率为
这就是所求的似然函数．取对数得
则ne-λT0=n-k，解得λ的最大似然估计量为