问答题
(Ⅰ)设f(x)，g(x)连续，且
=0，求证：无穷小
∫
0
φ(x)
f(t)dt～∫
0
φ(x)
g(t)dt (x→a)
(Ⅱ)求w=
=0，求证：无穷小
∫
0
φ(x)
f(t)dt～∫
0
φ(x)
g(t)dt (x→a)
(Ⅱ)求w=
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由
{∫
0
φ(x)
f(t)dt／∫
0
φ(x)
g(t)dt}
{∫
0
u
f(t)dt／∫
0
u
g(t)dt}
=1， → ∫
0
φ(x)
f(t)dt～∫
0
φ(x)
g(t)dt (x→a)． (Ⅱ)因ln(1+2sinx)～2sinx一2x(x→0)，由题(Ⅰ)→
=x
6
， ∫
0
x
ln(1+2sint)dt—∫
0
x
2tdt=x
2
． 因此，利用等价无穷小因子替换即得
{∫
0
φ(x)
f(t)dt／∫
0
φ(x)
g(t)dt}
{∫
0
u
f(t)dt／∫
0
u
g(t)dt}
=1， → ∫
0
φ(x)
f(t)dt～∫
0
φ(x)
g(t)dt (x→a)． (Ⅱ)因ln(1+2sinx)～2sinx一2x(x→0)，由题(Ⅰ)→
=x
6
， ∫
0
x
ln(1+2sint)dt—∫
0
x
2tdt=x
2
． 因此，利用等价无穷小因子替换即得
【答案解析】