设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫
0
2
f(t)dt=f(2)+f(3)．
证明：(1)ξ
1
，ξ
2
∈(0，3)，使得f"(ξ
1
)=f"(ξ
2
)=0．
(2)存在ξ∈(0，3)，使得f"(ξ)一2f"(ξ)=0．
【正确答案】正确答案：(1)令F(x)=∫
0
x
f(t)dt，F"(x)=f(x)， ∫
0
2
f(t)dt=F(2)一F(0)=F"(c)(2一0)一2f(c)，其中0＜c＜2． 因为f(x)在[2，3]上连续，所以f(x)在[2，3]上取到最小值m和最大值M，
由介值定理，存在x
0
∈[2，3]，使得f(x
0
)=
，即f(2)+f(3)=2f(x
0
)， 于是f(0)=f(c)=f(x
0
)， 由罗尔定理，存在
，使得f"(ξ
1
)=f"(ξ
2
)=0． (2)令φ(x)=e
—2x
f"(x)，φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(ξ，ξ)
由介值定理，存在x
0
∈[2，3]，使得f(x
0
)=
，即f(2)+f(3)=2f(x
0
)， 于是f(0)=f(c)=f(x
0
)， 由罗尔定理，存在
，使得f"(ξ
1
)=f"(ξ
2
)=0． (2)令φ(x)=e
—2x
f"(x)，φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(ξ，ξ)
【答案解析】