单选题 设D是xOy平面上有界闭区域,则下列命题
①若f(x,y)在D上连续,且f(x,y)>0((x,y)∈D),则
②若f(x,y)在D上可积,f(x,y)≥0,≠0((x,y)∈D),则
③若f(x,y)在D上连续,f(x,y)≥0,≠0((x,y)∈D),则在D上f(x,y)dσ>0
④若f(x,y)在D上可积,且
【正确答案】 A
【答案解析】[解析] ①正确.由有界闭域上连续函数达到最小值


其中S为D的面积.因此命题正确.
②不正确.例如,函数

其中(x0,y0)∈D,满足:f(x,y)≥0,0((x,y)∈D),但
③正确.将D分解成D=D1∪D2,在D1上f(x,y)≥0,在D2上f(x,y)>0,再利用积分对区域的可加性及命题①的结论.
因为f(x,y)≥0,M0(x0,y0)∈D,f(x0,y0)>0又因f(x,y)在D连续有界闭区域D1,M0∈D1D使得f(x,y)>0((x,y)∈D1).记D2=D/D1,则D=D1∪D2

最后由积分对区域的可加性得

④不正确.例如函数其中D1={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1},D2={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1|,显然,且,但在D上f(x,y)0.
综上分析,应选(A).