单选题
设D是xOy平面上有界闭区域,则下列命题
①若f(x,y)在D上连续,且f(x,y)>0((x,y)∈D),则
②若f(x,y)在D上可积,f(x,y)≥0,≠0((x,y)∈D),则
③若f(x,y)在D上连续,f(x,y)≥0,≠0((x,y)∈D),则在D上f(x,y)dσ>0
④若f(x,y)在D上可积,且
A
B
C
D
【正确答案】
A
【答案解析】
[解析] ①正确.由有界闭域上连续函数达到最小值
,
其中S为D的面积.因此命题正确.
②不正确.例如,函数
其中(x
0
,y
0
)∈D,满足:f(x,y)≥0,
0((x,y)∈D),但
.
③正确.将D分解成D=D
1
∪D
2
,在D
1
上f(x,y)≥0,在D
2
上f(x,y)>0,再利用积分对区域的可加性及命题①的结论.
因为f(x,y)≥0,
M
0
(x
0
,y
0
)∈D,f(x
0
,y
0
)>0又因f(x,y)在D连续
有界闭区域D
1
,M
0
∈D
1
D使得f(x,y)>0((x,y)∈D
1
).记D
2
=D/D
1
,则D=D
1
∪D
2
,
最后由积分对区域的可加性得
④不正确.例如函数
其中D1={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1},D
2
={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1|,显然
,且
,但在D上f(x,y)
0.
综上分析,应选(A).
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