若函数f(c)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f''(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：
(Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1))；
(Ⅱ)
自然数n，存在唯一的x
n
∈(0，1)，使得
自然数n，存在唯一的x
n
∈(0，1)，使得
【正确答案】正确答案：(Ⅰ) 由题设条件及罗尔定理，
=> f(x)＞f(0)=0(0＜x≤a， f(x)＞f(1)=0(0≤x＜1)， => f(x)＞0(x∈(0，1))． (Ⅱ) 由题设知存在x
M
∈(0，1)使得f(x
M
)=M＞0． 先证
是f'(x)的某一中间值．因f'(x
M
)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξ
n
∈(0，x
M
)使得
这里f'(x)在[ξ
n
，x
M
]连续，再由连续函数中间值定理=>存在x
n
∈(ξ
n
，x
M
)
(0，1)，使 得
最后再证唯一性．由f''(x)<0(x∈(0，1))=>f'(x)在(0，1)单调减少=>在区间(0，1)内
=> f(x)＞f(0)=0(0＜x≤a， f(x)＞f(1)=0(0≤x＜1)， => f(x)＞0(x∈(0，1))． (Ⅱ) 由题设知存在x
M
∈(0，1)使得f(x
M
)=M＞0． 先证
是f'(x)的某一中间值．因f'(x
M
)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξ
n
∈(0，x
M
)使得
这里f'(x)在[ξ
n
，x
M
]连续，再由连续函数中间值定理=>存在x
n
∈(ξ
n
，x
M
)
(0，1)，使 得
最后再证唯一性．由f''(x)<0(x∈(0，1))=>f'(x)在(0，1)单调减少=>在区间(0，1)内
【答案解析】