已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(1—a)x
1
2
+(1—a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2。
问答题
求a的值；
【正确答案】正确答案：二次型矩阵A=
。二次型的秩为2，则二次型矩阵A的秩也为2， 从而 ｜A｜=
。二次型的秩为2，则二次型矩阵A的秩也为2， 从而 ｜A｜=【答案解析】
问答题
求正交变换x=Qy，把f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准形；
【正确答案】正确答案：由上问中结论a=0，则A=
，由特征多项式 ｜λE—A｜=
=(λ一2)[(λ一1)
2
—1]=λ(λ一2)
2
， 得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=0。 当λ=2，由(2E—A)x=0得特征向量α
1
=(1，1，0)
T
，α
1
=(0，0，1)
T
。 当λ=0，由(0E—A)x=0得特征向量α
3
=(1，一1，0)
T
。 容易看出α
1
，α
2
，α
3
已两两正交，故只需将它们单位化： γ
1
=
(1，1，0)
T
，γ
2
=(0，0，1)
T
，γ
3
=
(1，1，0)
T
。 那么令Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=
，则在正交变换x=Qy下，二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准形f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax=y
T
，由特征多项式 ｜λE—A｜=
=(λ一2)[(λ一1)
2
—1]=λ(λ一2)
2
， 得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=0。 当λ=2，由(2E—A)x=0得特征向量α
1
=(1，1，0)
T
，α
1
=(0，0，1)
T
。 当λ=0，由(0E—A)x=0得特征向量α
3
=(1，一1，0)
T
。 容易看出α
1
，α
2
，α
3
已两两正交，故只需将它们单位化： γ
1
=
(1，1，0)
T
，γ
2
=(0，0，1)
T
，γ
3
=
(1，1，0)
T
。 那么令Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=
，则在正交变换x=Qy下，二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准形f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax=y
T
【答案解析】
问答题
求方程f(x
1
，x
2
，x
3
)=0的解。
【正确答案】正确答案：由f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
+2x
3
2
=0，得
【答案解析】