问答题
某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R万元与电台广告费x
1
万元及报纸广告费用x
2
万元之间的关系有如下经验公式：
R=15+14x
1
+32x
2
—8x
1
x
2
—2x
1
2
一10x
2
2
．
(1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；
(2)若提供的广告费用为1．5万元，求相应的最优广告策略．
【正确答案】正确答案：(1)利润函数为z=f(x
1
，x
2
)=15+14x
1
+32x
2
—8x
1
x
2
—2x
1
2
一10x
2
2
一(x
1
+x
2
) =15+13x
1
+31x
2
—8x
1
x
2
—2x
1
2
一10x
2
2
．
函数z=f(x
1
，x
2
)在点(0．75，1．25)处的二阶导数为
由于B
2
一AC=64—80=一16＜0，A=一4＜0，所以函数z=f(x
1
，x
2
)在(0．75，1．25)处达到极大值，也即最大值．所以投入电台广告费0．75万元，报纸广告费1．25万元时，利润最大． (2)若广告费用为1．5万元，则需求利润函数z=f(x
1
，x
2
)在x
1
+x
2
=1．5时的条件极值． 构造拉格朗日函数 F(x
1
，x
2
，λ)=15+13x
1
+31x
2
-8x
1
x
2
—2x
1
2
一10x
2
2
+λ(x
1
+x
2
—1．5)， 由方程组
函数z=f(x
1
，x
2
)在点(0．75，1．25)处的二阶导数为
由于B
2
一AC=64—80=一16＜0，A=一4＜0，所以函数z=f(x
1
，x
2
)在(0．75，1．25)处达到极大值，也即最大值．所以投入电台广告费0．75万元，报纸广告费1．25万元时，利润最大． (2)若广告费用为1．5万元，则需求利润函数z=f(x
1
，x
2
)在x
1
+x
2
=1．5时的条件极值． 构造拉格朗日函数 F(x
1
，x
2
，λ)=15+13x
1
+31x
2
-8x
1
x
2
—2x
1
2
一10x
2
2
+λ(x
1
+x
2
—1．5)， 由方程组
【答案解析】