已知A＝
【正确答案】正确答案：(1)A
T
A＝
，由r(A
T
A)＝2可得， ｜AA｜＝
＝(a＋1)
2
(a
2
＋3)＝0 可得a＝－1． (2)由(1)中结果，则 f＝χ
T
A
T
Aχ＝(χ
1
，χ
2
，χ
3
)
＝2χ
1
2
＋2χ
2
2
＋4χ
3
2
＋4χ
1
χ
3
＋4χ
2
χ
3
． 令矩阵
｜λE－B｜＝
＝λ(λ－2)(λ－6)＝0， 解得B矩阵的特征值为λ
1
＝0，λ
2
＝2，λ
3
＝6． 对于λ
1
＝0，解(λ
1
E－B)χ＝0，得对应的特征向量为：η
1
＝
对于λ
2
＝2，解(λ
2
E－B)χ＝0，得对应的特征向量为：η
2
＝
对于λ
3
＝6，解(λ
3
E－B)χ＝0，得对应的特征向量为：η
3
＝
将η
1
，η
2
，η
3
单位化可得：
，由r(A
T
A)＝2可得， ｜AA｜＝
＝(a＋1)
2
(a
2
＋3)＝0 可得a＝－1． (2)由(1)中结果，则 f＝χ
T
A
T
Aχ＝(χ
1
，χ
2
，χ
3
)
＝2χ
1
2
＋2χ
2
2
＋4χ
3
2
＋4χ
1
χ
3
＋4χ
2
χ
3
． 令矩阵
｜λE－B｜＝
＝λ(λ－2)(λ－6)＝0， 解得B矩阵的特征值为λ
1
＝0，λ
2
＝2，λ
3
＝6． 对于λ
1
＝0，解(λ
1
E－B)χ＝0，得对应的特征向量为：η
1
＝
对于λ
2
＝2，解(λ
2
E－B)χ＝0，得对应的特征向量为：η
2
＝
对于λ
3
＝6，解(λ
3
E－B)χ＝0，得对应的特征向量为：η
3
＝
将η
1
，η
2
，η
3
单位化可得：
【答案解析】