【正确答案】利用介值定理证明(I)，利用积分中值定理和拉格朗日中值定理证明(Ⅱ)．
证 (I)设M和m分别为函数f(x)在区间[a，b]上的最大值及最小值，则
m(b一a)≤∫_a^bf(x)dx≤M(b－a)．
在以上不等式两边各除以b一a，得到
m≤∫_a^bf(x)dx≤M．
这表明确定的数∫_a^bf(x)dx介于函数f(x)的最小值m及最大值M之间．由闭区间上连续函数的介值定理知，在[a，b]上至少存在一点η，使得函数f(x)在点η处的值与这个确定的数值相等，即应有
∫_a^bf(x)dx=f(η) (a≤η≤b)．
两端各乘以b－a，即得所要证的等式．
(Ⅱ)由(I)的结论知，至少存在一点η∈[2，3]，使
∫₂³2φ(x)dx=φ(η)(3－2)=φ(η)，2≤η≤3.
又由φ(2)＞∫₂³φ(x)dx=φ(η)，φ(2)＞φ(1)知，对φ(x)分别在[1，2]及[2，η]上使用拉格朗日中值定理，得到
φ′(ξ₁)=＞0， 1＜ξ₁＜2，
φ′(ξ₂)=＜0， 2＜ξ₂＜η≤3．
在[ξ₁，ξ₂]上对导函数φ′(x)使用拉格朗日中值定理，得到
φ″(ξ)=＜0， ξ∈(ξ₁，ξ₂)