解答题
10.f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得
f'(ξ)=2∫01f(x)dx．
f'(ξ)=2∫01f(x)dx．
【正确答案】因为f'(x)在[0，1]上连续，所以，f'(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即存在x1，x2∈[0，1]，使f'(x1)=m，f'(x2)=M．
由积分中值定理，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使∫0xf'(x)dx=f'(η)x，即f(x)=f(x)－f(0)=f'(η)x，于是有
f'(x1)x=Mx≤f(x)=f(x)－f(0)=f'(η)x≤Mx=f'(x2)x，
两边在[0，1]上积分得
f'(x1)∫01xdx≤∫01f(x)dx≤f'(x2)∫01xdx，
即
f'(x1)≤∫01f(x)dx≤
f'(x2)，即f'(x1)≤2∫01f(x)dx≤f'(x2)．
因为f'(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必有ξ∈[x1，x2]
[0，1]，或ξ∈[x2，x1]
由积分中值定理，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使∫0xf'(x)dx=f'(η)x，即f(x)=f(x)－f(0)=f'(η)x，于是有
f'(x1)x=Mx≤f(x)=f(x)－f(0)=f'(η)x≤Mx=f'(x2)x，
两边在[0，1]上积分得
f'(x1)∫01xdx≤∫01f(x)dx≤f'(x2)∫01xdx，
即
f'(x1)≤∫01f(x)dx≤f'(x2)，即f'(x1)≤2∫01f(x)dx≤f'(x2)．因为f'(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必有ξ∈[x1，x2]
[0，1]，或ξ∈[x2，x1]【答案解析】